De kunst van het tellen

Tellen doe je met telwoorden. Het bijzondere van tellen is dat het altijd  in dezelfde volgorde gebeurt, dat geen woord wordt  overgeslagen  en  dat ook niets van wat er geteld wordt wordt overgeslagen.
Wat eenmaal geteld is, mag niet nog een keer geteld worden. Met een paars stempel op de rug van je hand -ten teken dat je geteld bent – mag je niet nog ‘s geteld worden.
Je kunt wat geteld is in groepen samenvoegen en bij elkaar optellen: 5 + 5 = 10, van elkaar aftrekken: 5 – 3 = 2, met elkaar vermenigvuldi­gen: 5 x 4 = 20 en door elkaar delen: 6 : 3 = 2. Door deze strenge regels, die je op school geleerd hebt, laat tellen zich makkelijk forma­liseren; het heet dan rekenen. Je hoeft je daarbij niets voor te stellen. 5 + 2 geeft dezelfde uitkomst als 2 + 5, namelijk 7. En 5 x 2 geeft de­zelfde uitkomst als 2 x 5, namelijk 10. Dat heb je zo geleerd en je past het in je verdere leven automatisch toe.
En toch zijn er gebieden waar eigen wetten gelden. Dat merk je als je het toepast. Ga maar na:

2 personen plus 5 personen is 7 personen.

Elk telwoord staat voor een aantal personen. Dat is in orde. Blindeling­se toepassing op een vermenigvuldiging  echter leidt tot problemen:

2 personen maal 5 personen is 10 personen.

Dat zeg je niet. Je zegt wel:

2 meter maal 5 meter is 10 vierkante meter.

Maar over vierkante personen hebben we het nooit.
Soms hebben we het over geld:

2 personen maal 5 gulden is 10 gulden of:

2 personen à 5 gulden is 10 gulden.

En waarom zeggen we dat laatste liever dan

5 gulden maal 2 personen is 10 gulden?

Waarom is hier, alle strengheid ten spijt, 2 x 5 naar je gevoel een tikje
anders dan 5 x 2?
Dat hangt van de betekenis af.
Dus toch.
De semantiek van het dagelijkse leven trekt kleine rimpels makkelijk glad. Het oog speelt daarbij een grote rol. Het ziet 2 maal 5 en 5 maal 2 als twee ongelijke zaken die nochtans gelijk zijn: 10. En ‘2’ is 2 en ‘1’ is 1 en samen is dat 3, ook al staat dat er niet letterlijk bij.
Ik moet daarbij vaak denken aan het leeslesje op de lagere school. Van een boertje dat niet dom was, heette het en ik verbaas me nog wel ‘s over het hoge filosofische gehalte van dat lesje. Van een boertje dat niet dom was. Het boertje had een zoon die studeerde in de stad. Die jongen was vreselijk knap. Op een avond zit hij bij zijn ouders thuis en zegt, wijzend op de twee eieren die op tafel staan (hij wipt achterover op zijn keukenstoel de duim hoog in ‘t vest – ik zie het plaatje nog voor me): ‘hoeveel eieren staan daar denkt u?’ ‘Twee,’ zegt het boertje. ‘Ik zie er drie,’ zegt de student. ‘Hoezo?,’ zegt het boertje. ‘Nou,’ zegt de student, ‘er staan wel twee eieren, maar er staat ook één. Twee plus een is samen drie. Er staan dus drie eieren.’
‘Nou nou,’ verzucht het moedertje, ‘dat gaat mij boven de pet, ik kan die wetenschap van jou niet meer bijbenen hoor.’ Maar het boertje heeft zijn antwoord al klaar. ‘Als moeder en ik,’ zegt hij ‘nu de eieren opeten die wij zien, mag jij het ei hebben dat wij niet zien.’
Een vraag die je na dit verhaal door het hoofd blijft spelen is: waar­om zag die student maar drie eieren, waarom niet vier? Of honderd? Maar dit terzijde, het gaat om de grap.
De student bevindt zich daarmee in het gezelschap van een andere grappenmaker, die stelde deze constructie op:

‘Je hoeft maar te kijken naar de volgende figuur:

om te zien dat 2 x 2 gelijk is aan 4.’
Nou, zeg ik, dan hoef ik alleen maar te kijken naar de volgende figuur:

om te zien dat 3 x 2 gelijk is aan 4.
De bedenker van deze grap is niemand minder dan Ludwig Wittgen­stein. En omdat deze filosoof algemeen erkend wordt als een absoluut humorloze man, doen we er goed aan deze rekentruc serieus te nemen, en de grap van de drie eieren ook.

Onderweg zijn wij een zijpaadje in gegaan dat scheen dood te lopen. Twee personen die elk 5 gulden moesten betalen, dus samen 10 gulden. We volgen het paadje en komen uit op de markt. Daar wordt flink ge­handeld en wat ons opvalt is de variëteit van de goederen: alles wat een mens voor zijn dagelijkse leven nodig heeft is daar te koop en gaat van de hand. Je ziet het geld van eigenaar naar eigenaar gaan. Geld is de spil waar alles om draait. Niet alleen in middelpuntzoekende, maar ook in de middelpuntvliedende zin die men eraan geeft als men zegt dat geld rollen moet.
‘Liever een dubbeltje dat rolt dan een kwartje dat stilligt.’
Dit is de plaats van de vloeiende waarde en de harde munt. Het is de plaats waar gewikt wordt en gewogen en het schatten een kunst is: waar de een twee eieren ziet, ziet de ander er drie; hij heeft aan die twee eieren een koopje.
De markt is de plaats waar winsten worden gemaakt omdat jij weet wat de ander niet weet, maar ook de plaats waar de mens geleerd heeft zich te houden aan afspraken en de maatstok langs de stof weet te leg­gen; hij heeft leren meten.

Dat was ons zijstraatje. Terug naar de hoofdstraat. Daar lezen we over de prehistorie van het getal, over één, twee en meer; over kraaien die tot vier kunnen tellen en een mensheid die dat nog niet kon; over hoe de mens het nodig vond te leren rekenen (de markt dus); over de uitvin­ding van het grondgetal; over de hand als rekenmachine, over de buitengemene bedrevenheid van de Chinezen; over de eerste cijfers (het geschreven getal); over Griekse en Romeinse cijfers (‘een impasse’); over de ontdekking van de nul; over de positionele notatie; over de bakermat van het moderne rekenen (‘India’); over ‘de gouden tijd van de Islam’; over ‘de aarzeling van Europa’.
Europa was een nakomertje. Het cijfer nul met name, in India al vóór het jaar 500 in gebruik, kwam pas drie eeuwen later in Bagdad aan, waar het evenzolang op de plank heeft gelegen; pas vier eeuwen daar­na, omstreeks 1200, werd het ingevoerd in Italië (kwam het mee met de handel) en toen duurde het nóg weer vierhonderdvijftig jaar voordat er in de natuurwetenschap via het Cartesisch assenkruis met succes ge­bruik van werd gemaakt.
Het woordje ‘succes’ is hier een understatement. Rond 1650 hadden de ‘virtuosi’ -Galileï, Descartes, Torricelli, Huygens, Boyle en vele andere artiesten in hun voetspoor – begrepen dat ons begrip van de wereld en van de natuur in het bijzonder, sterk werd bevorderd als we die natuur gingen meten en haar door onze metingen lieten spreken. Het is een wonder dat dat kan. Het is onbegrijpelijk dat getallen in staat zijn de natuur -die niet spreken kan- te laten spreken.

Zo is Europa begonnen zijn achterstand in te halen.

Ik geef een korte lijst:

-‘Meten is weten.’ (Galileï)
– Om te meten heb je een meetlat nodig.
– Om in de ruimte te kijken heb je een verrekijker nodig, of een microscoop.
– Om de tijd te meten gebruikte Galileï zijn eigen polsslag
als stopwatch.
– Om precies de tijd te meten heb je een regelmatige beweging nodig.
– Om de tijd te meten, gebruik je de zon.
– De verrekijker werd uitgevonden door de Zeeuw Zacharias Janse (omstreeks 1605).
– Het precizie-uurwerk werd uitgevonden door Huygens, in 1656.
– Om warmte/kou te meten heb je een thermometer nodig.
– Om kracht te meten gebruik je een hamer (Huygens).
– Om druk te meten heb je een barometer nodig.
– 76 centimeter kwik weegt 700 kilometer lucht.
– Om snelheid te meten moet je ruimte en tijd meten.
– Om versnelling te meten moet je snelheid en tijd meten.
– Om een meter te meten heb je een meter nodig.
– Om volume te meten heb je lengte, breedte en hoogte nodig.
– Om volume te meten kun je met een badkuip volstaan (Archimedes) .
– De thermometer werd uitgevonden door Boyle, omstreeks 1656.
– De barometer werd uitgevonden door Torricelli (1645).
– Om gewicht te meten heb je een spiraalveer nodig.
– De weegschaal werd uitgevonden door Hooke (1658).
– De microscoop werd uitgevonden door Malpighi (1660).
– De kunst om te rekenen met oneindig kleine getallen werd uitgevonden door Leibniz en, geheel onafhankelijk van hem, door Newton (om­streeks 1670).

Hoe zeker kun je zijn van een meting?
Het doel is: zeker te zijn van de natuur.
De zekerheid van de natuur is de som van vele onzekerheden, die alle­ maal te meten zijn. Hoe meer onzekerheid je meet, des te zekerder ben je van de uitkomst.
Voorbeeld: Als je tien keer je eigen lengte meet, vind je, als die metingen maar precies genoeg zijn, tien verschillende lengtes. Toch heb je een idee van wat je lengte is, met een lage waarschijnlijkheid voor de uitschieters en een hoge waarschijnlijkheid voor het gemiddelde van je metingen. Het is een vreemd verschijnsel, dat zijn prototype heeft in de zekerheid die de dobbelsteen biedt: als je maar vaak genoeg gooit weet je -en je kunt dit bewijzen- dat je even vaak een zes gooit als een één. Waar hebben we die zekerheid aan te danken? Aan de formules of aan de dobbelsteen? Aan de wiskunde of aan de wereld?
Het negentiende-eeuwse wiskundegenie Henri Poincaré beantwoord­ de deze vraag met een bon mot: ‘Iedereen gelooft erin: de wiskundigen omdat ze denken dat het een feit is dat ze waarnemen en de waarne­mers omdat ze denken dat het een wiskundige stelling is.’