Misschien zou men het antropomorfisme moeten expliciteren en er een coherent systeem van moeten maken – onverhuld.

Dan zou duidelijk zichtbaar worden dat elke verklaring antropomorf is. En hoe zou het anders kunnen? Men verschilt slechts van mening over de dosis.

Wat is Menselijker dan tellen? Wisselwerking van onderscheiden en samenvoegen, zoals de vingers zich een voor een openen, en samen sluiten.

En dan – geen van die 4 bomen weet dat ze 4 zijn. Ze vormen slechts een getal voor Iemand. Niets is objectiever dan het getal van die objecten. Niets maakt de aanwezigheid noodzakelijker van iemand die groepeert en opsomt.

 

*

 

Ritme. Heel moeilijk te analyseren, dit begrip.

Misschien is de gebruikelijke indeling van de tijdsrelaties onvoldoende. Men beperkt zich tot het opeenvolgende en het gelijktijdige. Maar er is een bemiddelende intuïtie tussen deze twee. Dat is de intuïtie van het ritme.

In het ritme heeft het opeenvolgende enkele eigenschappen van het gelijktijdige. Het is een opeenvolging van momenten, maar hoewel die momenten verschillend zijn – toch kan die opeenvolging slechts op een manier plaatsvinden.

Of anders is het een som die afhangt van de volgorde van de termen. Hier merken we op dat de opeenvolging van een kunstmatige transformatie en van een natuurlijke tr[ansformatie] altijd in deze volgorde plaatsvindt.

Er zijn verbindingen tussen voorafgaande en volgende alsof alle termen gelijktijdig en actueel waren, maar slechts achtereenvolgens verschenen. –

Alle termen van het opeenvolgende zullen corresponderen met iets gelijktijdigs. Dat gelijktijdige zelf zal herleidbaar zijn tot een teken.

Een gespikkeld oppervlak zal weergegeven kunnen worden door het gebaar van kleine prikjes geven. Men zal dan het oppervlak en de handeling kunnen beschouwen als momenten van eenzelfde ontwikkeling – het één voor de vertaling van het ander kunnen houden; – en in dit voorbeeld zie je fenomenen van tijdsduur zich ontplooien of zich opvouwen binnen een gelijktijdig feit. Dat is trouwens het getal: (1+1+1+…1)= A

Zo is tellen – tegelijkertijd: wachten en zich herinneren. Zo is het getal de naam van een object dat zelf een moment is van het eenvoudigste ritme. Het volstaat die naam te geven om een ontwikkeling – het optellen – en een figuur waarnaar de optelling verwijst volledig te kunnen vastleggen.

 

*

 

Het is met tijd en ruimte hetzelfde als met het getal. Men begrijpt niets van die antieke, sinds lang georganiseerde begrippen, wanneer men niet aandachtig de bijzondere en beperkte gevallen beschouwt die middels generalisatie gediend hebben om ze te verwerven, De eerste en kleine, hele getallen hebben gediend om het getal op te bouwen, want het zijn gunstige gevallen waarin veelheid, intuïtie van het ene en het verscheidene, en onmiddellijke ordening verenigd zijn.

Voor tijd en ruimte zijn de ideeën die ze gemeen hebben: hier of nu; vooruit, achteruit; aan deze zijde, aan gene zijde; ver of dichtbij; lang of kort; tussen, in; samen, apart, vervolgens; interval, afstand; in de buurt van -.

Identiek, herhaald.

 

*

 

De vergissing van de wiskundigen buiten de wiskunde is dat ze met onzuivere begrippen redeneren zoals ze in de wiskunde redeneren met zuivere begrippen.

 

*

 

Getal

 

Poincaré betwijfelde of men het getal kan definiëren. Painlevé, met wie ik (heel kort) heb gesproken over deze kwestie, lijkt dat gezichtspunt te delen.

Ik denk het tegendeel. Deze heren moeten getal en meervoudigheid verwarren. Ik zie een hoop stenen. Ik weet niet hoeveel het er zijn. Ik tel ze en ik heb een getal.

Beschrijven wat ik gedaan heb is de definitie van het getal.

Een kind kan niet tellen. Het leert het. Wat er in dit opzicht tussen zijn meester en hem is gebeurd – dat is de definitie van het getal.

Maar het is waar dat het delicaat en vervelend is om die op te stellen.

Dit dient opgemerkt – A. dat de getallen in werkelijkheid in twee categorieën uiteenvallen:

1. De heel kleine getallen – 1,2,3,4,5
2. Alle getallen

Onze intuïtie onderscheidt p objecten tegelijkertijd, bij meer dan p raakt ze de weg kwijt.

B. Iets anders. Opmerken dat aan elke veelheid van objecten een veelheid van handelingen beantwoordt. Men telt slechts handelingen, en men denkt (zonder het te weten) zoveel objecten, zoveel handelingen. Tot res, tot signa.

Men kan een van die handelingen kiezen (zoals aanraken met de vinger), en die herhalen met elk van de objecten, zonder over te slaan of te herhalen. Die operatie is onafhankelijk van de gekozen volgorde. Men geeft een nieuwe naam aan elke herhaling van de handeling die gepaard gaat met een ander object, en men beschouwt elke keer alle objecten die al aangeraakt zijn (men kan ze apart zetten). Dat geheel heeft een veelheid van handelingen gevergd waaraan de gegeven naam herinnert. Men rangschikt die namen zodanig dat elk van hen is opgenomen tussen die welke de beschouwde veelheid min 1 eenheid representeert en die welke herinnert aan de beschouwde veelheid plus 1 eenheid.

Deze rangschikking kent men uit het hoofd. Anders zouden getallen geen nut hebben. Het is een tabel: 1=1, 2 = 1+1, 3 = 1+1+1. Voorbij 4 of 5 stelt men zich 6 voor als 5+1. 10 als 5+5. En vervolgens stelt men zich alleen kleine getallen voor als onderscheiden van groepen ononderscheiden eenheden. En men denkt dat het weinig is, of veel al naar gelang, zoals de wilde doet met ongetelde veelheden.

 

*

 

Wiskunde is de wetenschap van de dingen die herleid worden tot hun definitie. / Wiskunde is de wetenschap van de dingen die identiek zijn met hun definitie.

 

*

 

Wiskunde. Er is sprake van wiskunde wanneer men een systeem van handelingen zonder problemen kan vervangen door een denkbeeldig object.

De denkbeeldige objecten die zich het best lenen voor die vervanging zijn de veelheden, en vervolgens de homogene uitgestrektheden; dat is waarom men geneigd is de wiskunde te beschouwen als wetenschap an de getallen en de grootte.

Maar dat is een vergissing. Het tegendeel is het geval. Wanneer ik een optelling maak van getallen of segmenten, dan laten hun quanta me onverschillig. De operaties zijn daarvan onafhankelijk en dat is precies wat wiskunde mogelijk maakt.

 

*

 

Getal –

Deze timmerman kan niet tellen.

Men bestelt luiken bij hem voor alle ramen van een huis. Hij zou er een paar kunnen maken, ze plaatsen en wat hij tekort komt aan kunnen vullen, of de teveel gemaakte mee terugnemen. Hij kan stenen meenemen en er in elk raam een leggen. Die pakt hij vervolgens terug en neemt ze mee in een zak. Hij maakt zijn luiken. Elke keer wanneer hij er een klaar heeft, gooit hij een steen weg. Hij heeft de kennis van het getal niet nodig gehad. Hij heeft het probleem opgelost: evenveel x als y. Als hij verandert in een ruitenzetter en er zijn meerdere ruiten in elk raam, dan zal hij 1. Stenen en 2. Graankorrels gebruiken.

Evenveel stenen als ramen; evenveel graankorrels als ruiten in een raam – hij zal de ruiten die hij gesneden heeft stapelen, evenveel stapels als stenen. (Men ziet dat hij het vermenigvuldigtal onderscheidt van vermenigvuldiger (multiplicator). Hij schrijdt voort van het een naar het ander, niet naar een tweede, een derde.

Het getal is de naam van een veelheid waarvan men slechts de eigenschappen beschouwt van het eenheid voor eenheid, object voor object corresponderen met een andere veelheid.

Het is de naam die alle veelheden gemeen hebben die op elkaar toepasbaar zijn.

 

*

 

Borel zei me onlangs dat hij zijn onderzoek naar de verzamelingenleer had moeten staken wegens de vermoeidheid die het veroorzaakte – en die hem deed vrezen voor ernstige kwalen waarvan hij al een voorgevoel had, als hij koppig met het werk zou doorgaan.

Hij voegde eraan toe dat Cantor en Baire ernstig ziek waren geweest na hun inspanningen om diezelfde theorie te representeren.

Ik zie geen dichters die ooit zover zijn gegaan.

More brains, o Lord, zei G. Meredith over de vrouwen.

 

*

 

De eenvoudigste en meest volmaakte taal is het decimale stelsel.

 

*

 

Getal (voor de Dictionnaire de l’Académie)

1. ‘Naam die het resultaat aangeeft van een operatie, uitgevoerd op een veelheid van objecten of willekeurige dingen, om deze veelheid in te delen tussen die welke een object minder en die welke een object meer bevat’.

 

*

 

De bezwaren van Poincaré tegen de definitie van het getal doen me geloven dat hij dit begrip heeft beschouwd in zijn huidige complexiteit en niet in zijn graduele vorming. In het begin waren er een paar getallen, de eerste, dat wil zeggen enkele veelheden die intuïtief de eigenschappen bezaten waardoor ze zichtbaar onderscheiden en gerangschikt werden. Later slaagde men erin alle veelheden te rangschikken etc.

 

*

 

De wiskunde is een manier van denken – een gedachte – de enige – die is (of kan zijn) wat ze voorstelt en die voorstelt wat ze is.

 

*

 

Het Getal is een uitvinding die ook niet gedaan had kunnen worden; of niet geperfectioneerd had kunnen worden.

Men onderwijst het – men gaat van de toestand waarin men zegt wat men ziet – veel, weinig, een paar etc. naar de toestand waarin men telt en zegt: 30, 100, 4n etc.

Probleem: waar komen de moeilijkheden vandaan die uit deze uitvinding voortkomen en de uitvinder in verlegenheid brengen? V[oorbeeld]: de eerste getallen

 

*

 

Getallen – Echte groottes – Gewaarwording – etc.

We hebben alleen maar te maken, en kunnen ook alleen maar rechtstreeks te maken hebben met kleine getallen. Onze zintuigen, onze actiemiddelen beperken de waarneming en het bewerken van veelheden tot die kleine getallen. Alle andere zijn bemiddelende, opgeschreven getallen.

– Al wat werkelijk is, laat zich vormen, schilderen, aanraken, en wordt actief in een begrensd zintuiglijk domein.

 

*

 

Het is buitengewoon, en paradoxaal, dat de ‘wetenschap’ die gebaseerd is op meten en getallen, zulke resultaten heeft bereikt; dat ‘de abstractie’, dat wil zeggen: het wegnemen van de meeste kenmerken van de dingen, in combinatie met zichzelf zoveel dingen, en zoveel macht over de dingen heeft opgeleverd.

De kwantiteit… Welke naam zou een metafysicus aan de kwantiteit geven? – Ze is geïntroduceerd en algemeen erkend, want ze is de precieze naam van de mogelijkheid om te verifiëren, om terug te vinden – en van de conservering door tijd en ruimte heen.

 

*

 

Men heeft het gebruik van ‘beelden’ zoals dit (organisme ↔ menselijke of dierlijke samenleving) terecht en ten onrechte bekritiseerd.

Maar men heeft niet bedacht dat het onmogelijk is om ze niet te gebruiken. Men kan ze alleen maar 1. ofwel verstoppen (en we zullen zien hoe); 2. ofwel beschouwen als instant-instrumenten, met slechts een fiduciaire en tijdelijke waarde.

Het hele probleem verdwijnt door mijn methode, die van de ‘wetenschap’ slechts de verworven verifieerbare vermogens wil overhouden.

Wat doen die bemiddelende beelden ertoe? Er bestaat geen zuiver verbaal weten.

Ik beweer overigens dat het bij elke hypothese onmogelijk is, van beelden af te zien. – 1. Je kunt niet buiten de gewone taal, werkwoorden in het bijzonder; etc. 2. Je kunt geen fysica of welke Wetenschap ook opbouwen met niets dan waarnemingen en statistieken. De waarnemingen vragen om een selectie, een programma – een voorafgaand idee.

Het simpele gebruik van de veelheid is een ingreep, en het getal, relatie tussen veelheden die 1 op 1 met elkaar corresponderen, is een beeld van handelingen en van herhaling van handelingen.

En het tellen is een bemiddelende handeling die slechts zin heeft als ze is opgenomen in een handeling waarvan het doel geen getal meer is – maar identificatie van een oorspronkelijk beeld met finale waarneming.

 

*

 

De muziek heeft zich ontwikkeld door zich te verwijderen van het geluid, zoals de wiskunde door zich te verwijderen van het getal. Ik bedoel door te leren combineren, speculeren met die elementen zodra ze tot symbolen zijn gereduceerd (die omgezet kunnen worden in produktieve handelingen met geluiden of getallen.)

Het is zuiver operatief gebeuren.

 

*

 

Elk individu dat zich bezighoudt met een onbepaalde hoeveelheid anderen, reduceert ze in zijn gedachten tot materie. Hij wil er iets mee doen.

Zelfs wanneer hij er heiligen van zou willen maken, denkt hij toch als ‘materialist’.

En wanneer hij ze ‘gelukkig’ zou willen maken, dan denkt hij over ze als over vee.

Want de tussenkomst van de kwantiteit (de operator Getal) transformeert noodzakelijkerwijs datgene wat geteld of geëvalueerd wordt.

Als je mensen telt, tel je zakken.

Als je tot een menigte spreekt, spreek je tot een kind.

Als je een volk bekeert, dresseer je een hond

Als je het goede voorbeeld geeft, kweek je schapen.

Maar als je één voor één te werk gaat, en je handelt afzonderlijk in de differentie, kun je elk apart verrijken en je verrijkt met zekerheid jezelf. Degene die je wilt overtuigen, zal soms jou overtuigen en degene die je wilt verleiden zal jou verleiden.

Maar als je je wijdt aan de onbepaalde veelheid, pas dan op dat ze je er niet toe brengt om alleen nog maar te denken aan wat ermee gedaan kan worden.

 

Uit de Cahiers, een selectie