2
Als voorbeeld van de manier waarop een ziel zich tracht te verwerkelijken in het beeld van de haar omringende wereld, in zoverre dus de geworden cultuur uitdrukking en afbeelding is van een idee van menselijke bestaan, kies ik het getal, dat aan alle wiskunde ten grondslag ligt als zondermeer gegeven element. En wel omdat de wiskunde, die in haar volledige diepte voor slechts weinigen bereikbaar is, onder alle scheppingen des geestes een unieke positie inneemt. Zij is een wetenschap in de strengste stijl zoals de logica, maar omvattender en veel rijker aan inhoud; zij is een echte kunst naast de beeldende kunst en de muziek, wat betreft de noodzaak van een leidende inspiratie en de grote vormconventies in haar ontwikkeling; zij is ten slotte een metafysica van de hoogste orde, zoals Plato en vooral Leibniz bewijzen. Tot dusver is elke filosofie ontstaan in verbondenheid met een bijbehorende wiskunde. Het getal is het symbool van de causale noodzakelijkheid. Het bevat net als het Godsbegrip de laatste zin van de wereld als natuur. Daarom mag men het bestaan van getallen een mysterie noemen en het religieuze denken van alle culturen heeft zich nooit aan die indruk onttrokken.
Zoals alle Worden het oorspronkelijke kenmerk draagt van de richting (onomkeerbaarheid), zo draagt al het gewordene het kenmerk van de uitbreiding, en wel zodanig dat slechts een kunstmatige scheiding van de betekenis van deze woorden mogelijk lijkt. Het eigenlijke geheim van al het gewordene en dus (ruimtelijk-stoffelijk) uitgebreide wordt echter belichaamd in het type van het wiskundige, in tegenstelling tot het chronologische getal. En in het wezen ervan ligt de bedoeling van een mechanische grensbepaling. Het getal is daarin verwant aan het woord, dat – als begrip, ‘begrijpend’, ‘betekenend’ – eveneens indrukken van de wereld afgrenst. Het diepste is hier evenwel onvatbaar en onuitsprekelijk. Het werkelijke getal, waarmee de wiskundige werkt, het exact voorgestelde, gesproken, geschreven getalteken – cijfer, formule, teken, figuur – is net als het gedachte, gesproken, geschreven woord reeds een symbool daarvoor, verzintuiglijkt en mededeelbaar, een grijpbaar iets voor het innerlijk en uiterlijk oog, waarin de grensbepaling verschijnt als afgebeeld. De oorsprong van de getallen lijkt op de oorsprong van de mythe. De primitieve mens verheft onbepaalbare natuurindrukken (‘het vreemde’) tot godheden, numina, doordat hij ze begrenst in een naam, en zo bezweert. Zo zijn ook getallen iets dat natuurindrukken begrenst en daarmee bezweert. Met namen en getallen verwerft het menselijk begrijpen macht over de wereld. De tekentaal van een wiskunde en de grammatica van een verbale taal zijn uiteindelijk gelijk van opbouw. De logica is altijd een soort wiskunde en omgekeerd. Bijgevolg ligt ook in alle akten van het menselijk begrijpen die in verband staan met het wiskundig getal – meten, tellen, tekenen, wegen, ordenen, delen -, de talige, door de vormen van bewijs, conclusie, stelling en systeem voorgestelde tendens tot afgrenzing van het uitgebreide, en pas door nauwelijks nog bewuste akten van deze soort bestaan er voor de wakkere mens eenduidig door rangtelwoorden bepaalde dingen, eigenschappen, betrekkingen, afzonderlijks, eenheid en veelheid, kortom de als noodzakelijk en onwrikbaar ervaren structuur van dat wereldbeeld dat hij ‘natuur’ noemt en dat hij als zodanig ‘kent’. Natuur is het telbare. Geschiedenis is alles wat geen verhouding heeft tot wiskunde. Vandaar de wiskundige zekerheid van de natuurwetten, het verwonderde inzicht van Galilei dat de Natuur is ‘scritta in lingua matematica’ en het door Kant naar voren gebrachte feit dat de exacte natuurwetenschap precies zover reikt als de mogelijkheid van de toepassing van wiskundige methoden.
In het getal als het teken van de volmaakte begrenzing ligt derhalve, zoals Pythagoras of wie het ook was op grond van een grootse, volstrekt religieuze intuïtie met diepgaande zekerheid begreep, het wezen van al het werkelijke, dat tegelijk geworden, gekend en begrensd is. Men mag evenwel de wiskunde, begrepen als de vaardigheid om praktisch te denken in getallen, niet verwarren met de veel striktere wetenschappelijke wiskunde als de mondeling of schriftelijk ontwikkelde leer van de getallen. De geschreven wiskunde vertegenwoordigt evenmin als de in theoretische werken neergelegde filosofie het volledige bezit van dat wat in de schoot van een cultuur aanwezig was aan wiskundig en filosofisch schouwen en denken. Er bestaan nog heel andere wegen om het oergevoel dat aan de getallen ten grondslag ligt voor de zintuigen toegankelijk te maken. Aan het begin van iedere cultuur staat een archaïsche stijl, die men niet alleen in de vroeg-helleense kunst geometrisch genoemd zou kunnen hebben. Er ligt iets gemeenschappelijks en uitdrukkelijk wiskundigs in die antieke stijl van de tiende eeuw, in de stijl van de Egyptische tempels van de vierde dynastie met zijn onvoorwaardelijke heerschappij van de rechte lijn en de rechte hoek, in het reliëf van oudchristelijke sarcofagen en in de Romaanse bouwkunst en ornamenten. Elke lijn, elke menselijke of dierlijke figuur met hun helemaal niet nabootsende intentie openbaart hier een mystiek denken in getallen dat rechtstreeks in verband staat met het geheim van de dood (van het starre).
Gotische kathedralen en Dorische tempels zijn steengeworden wiskunde. Inderdaad heeft pas Pythagoras het antieke getal als het principe van een geordende wereld van grijpbare dingen, als maat of grootte begrepen op een wetenschappelijke manier. Maar juist toen werd het ook als schone ordening van zintuiglijk-lichamelijke eenheden tot uitdrukking gebracht door de strenge canon van de standbeelden en de Dorische zuilenordening. Alle grote kunsten zijn even zoveel soorten van getalsmatig betekenisvolle begrenzing. Men denke aan het ruimteprobleem in de schilderkunst. Een grote wiskundige begaafdheid kan ook zonder enige wetenschap technisch productief zijn en in deze vorm tot het volle bewustzijn van zichzelf komen. Men zal toch ten aanzien van het geweldig gevoel voor getallen dat reeds in het Oude Rijk verondersteld is in de ruimtelijke ordening van de piramidetempels, in de techniek van het bouwen, de irrigatie en het administratieve apparaat, om maar helemaal te zwijgen van de Egyptische kalender, niet willen beweren dat het waardeloze ‘rekenboek van Ahmes’ uit het Nieuwe Rijk maatgevend is voor het niveau van de Egyptische wiskunde? De oorspronkelijke bewoners van Australië, wier geest beslist in het stadium van de oermens thuishoort, bezitten een wiskundig instinct of, wat hetzelfde is, een nog niet door woorden en tekens mededeelbaar geworden denken in getallen, dat wat betreft de interpretatie van de zuivere ruimtelijkheid het Griekse verre overtreft. Zij hebben als wapen de boemerang uitgevonden, waarvan de werking wijst op een gevoelsmatige vertrouwdheid met getalsoorten die wij zouden rekenen tot de hogere geometrische analyse. Zij bezitten dienovereenkomstig – op grond van een later toe te lichten samenhang – een uiterst gecompliceerd ceremonieel en een in taal uitgedrukt systeem van verwantschapsgraden dat zo verfijnd is dat het nergens, zelfs niet in hoge culturen, zijn gelijke heeft gevonden. Daarmee komt overeen dat de Grieken in hun rijpste tijd onder Pericles analoog aan de Euclidische wiskunde geen zintuig hadden voor het ceremonieel van het openbare leven, noch voor de eenzaamheid, zeer in tegenstelling tot de barok, die naast de analyse van de ruimte het hof van de Zonnekoning en een op dynastieke verwantschappen berustend systeem van staten zag ontstaan.
Het is de stijl van een ziel die in een getallenwereld, maar niet alleen in de wetenschappelijke opvatting daarvan, tot uitdrukking komt.
3
Daaruit volgt een beslissend feit, dat de wiskundigen zelf tot op heden verborgen is gebleven.
Een getal an sich bestaat niet en kan niet bestaan. Er bestaan verschillende getallenwerelden, omdat er verschillende culturen bestaan. We treffen een Indisch, een Arabisch, een antiek, en een Westeuropees type wiskundig denken aan, en daarmee ook verschillende typen getal, die elk voor zich fundamenteel iets eigens en unieks hebben, elk uitdrukking zijn van een andere wereldervaring, elk symbool zijn van een ook wetenschappelijk nauwkeurig begrensde geldigheid en principe van een ordening van het gewordene, waarin zich het diepste wezen spiegelt van een unieke ziel die geen andere zijn kan, namelijk die welke het middelpunt is van juist deze en geen andere cultuur. Er bestaat derhalve meer dan één wiskunde. Want zonder twijfel is de structuur van de Euclidische geometrie een heel andere dan die van de cartesiaanse, en de analyse van Archimedes een andere dan die van Gauss, niet alleen wat betreft de vormentaal, de intentie en de middelen, maar vooral in de diepte, in de oorspronkelijke en willekeurige zin van het getal, welks wetenschappelijke ontwikkeling zij voorstelt. Dit getal, de grenservaring die daarin als vanzelfsprekend zintuiglijk vatbaar is geworden, en daarmee ook de hele natuur, de wereld van de uitgebreidheid waarvan het beeld door deze grensbepaling is ontstaan en die altijd slechts toegankelijk is voor de behandeling door een enkele soort wiskunde, – uit dat alles spreekt niet het mens-zijn in het algemeen, maar elke keer een heel bepaald soort mens-zijn.
